CONTOH SOAL PEMECAHAN MASALAH YANG TERKAIT FPB DAN KPK

KPK

Definisi : Bilangan bulat positif m adalah kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positif p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.

FPB

Definisi : Faktor persekukuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif, p dan q adalah bilangan bulat positif terbesar r demikian sehingga r½q dan r½q.

SOAL I:

Shela datang ke perpustakaan sekolah setiap 8 hari sekali, Arnis datang setiap 5 hari sekali dan Indra datang setiap 10 hari sekali. Jika pada tanggal 8 Januari 2012 mereka datang ke perpustakaan bersama-sama, pada tanggal berapa mereka akan datang ke perpustakaan bersama-sama lagi untuk kedua kalinya?

Penyelesaian :

Dalam permasalah tersebut ketika kita melogikanya sama halnya kelipatan dari setiap kali mereka datang ke perpustakaan kemudian pada suatu waktu mereka akan bertemu kembali.

Misal : Shela datang ke perpustakaan setiap 8 hari sekali. Berarti Shela akan datang  ke perpustakaan pada tanggal 16 Januari 2012, 24 Januari 2012, 1 Februari 2012, 9 Februari 2012, 17 Februari 2012 dan seterusnya.

Begitu juga dengan Arnis yang datang ke perpustakaan setiap 5 hari sekali. Arnis akan datang ke perpustakaan pada tanggal 13 Januari 2012, 18 Januari 2012, 23Januari 2012, 28 Januari 2012, 2 Februari 2012, 7 Februari 2012, 12 Februari 2012, 17 Februari 2012 dan seterusnya.

Indra datang ke perpustakaan setiap 10 hari. Berarti Indra akan ke perpustakaan pada tanggal 18 Januari 2012, 28 Januari 2012, 7 Februari 2012, 17 Februari 2012 dan seterusnya.

Jika kita lihat, Shela, Arnis, dan Indra pada tanggal 17 Februari 2012 mereka datang ke perpustakaan sehingga mereka dapat bertemu bersama-sama di perpustakaan untuk yang kedua kalinya.

Permasalahan di atas sehingga dapat diselesaikan dengan cara mencari KPK-nya terlebih dahulu.

Shela ke perpustakaan setiap 8 hari sekali

Arnis ke perpustakaan setiap 5 hari sekali

Indra ke perpustakaan setiap 10 hari sekali

Cara I : Menemukan himpunan kelipatan

Kelipatan 8 adalah 8, 16, 32, 40, 48, 56, …

Kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …

Kelipatan 10 adalah 10, 20, 30, 40, 50, …

Maka KPK dari 8, 5, 10 adalah 40

Jika mereka datang ke perpustakaan bersama-sama untuk pertama kali pada tanggal 8 Januari 2012, maka mereka akan keperpustakaan bersama-sama lagi untuk kedua kalinya setelah 40 hari yaitu pada tanggal 17 Februari 2012.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 8 adalah 2 x 2 x 2 = 2³

Faktorisasi prima dari 5 adalah 1 x 5

Faktorisasi prima dari 10 adalah 2 x 5

Maka KPK dari 8, 5, 10 adalah 2³ x 5 = 40

Jika mereka datang ke perpustakaan bersama-sama untuk pertama kali pada tanggal 8 Januari 2012, maka mereka akan keperpustakaan bersama-sama lagi untuk kedua kalinya setelah 40 hari yaitu pada tanggal 17 Februari 2012.

SOAL II :

Tiga buah lampu dinyalakan bersama-sama. Lampu merah menyala setiap 4 detik. Lampu hijau menyala setiap 7 detik dan lampu kuning menyala setiap 5 detik. Ketiga lampu itu akan menyala bersamaan pada detik ke berapa?

Penyelesaian :

Pada permasalahan tersebut pada prinsipnya sama dengan kelipatan seperti soal pertama. Jadi permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan mencari KPK dari 4, 7, dan 5.

Cara I : Menemukan himpunan kelipatan

Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, …

Kelipatan 7 adalah 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 115, 112, 119, 126, 133, 140, …

Kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, …

Maka KPK dari 4, 7, 5 adalah 140

Ketiga lampu tersebut akan menyala bersama-sama pada detik ke 140.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 4 adalah 2 x 2 = 2²

Faktorisasi prima dari 7 adalah 1 x 7

Faktorisasi prima dari 5 adalah 1 x 5

Maka KPK dari 4, 7, 5 adalah 2² x 7 x 5 = 140

Ketiga lampu tersebut akan menyala bersama-sama pada detik ke 140.

SOAL III :

Tiga bus kota dengan jurusan yang berbeda meninggalkan terminal yang sama, dan akan kembali ke terminal tersebut setiap 60 menit, 80 menit dan 120 menit. Jika ketiga bus tersebut meninggalkan terminal secara bersamaan pada pukul 05.30 pagi, pukul berapa ketiga bus akan bertemu di terminal yang sama tersebut?

Penyelesaian :

Cara I : Menemukan himpunan kelipatan

Kelipatan 60 adalah 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, …

Kelipatan 80 adalah 80, 160, 240, 320, 400, 480, ….

Kelipatan 120 adalah 120, 240, 360, 480, 600, ….

Maka KPK dari 60, 80, dan 120 adalah 240.

Tiga bus tersebut akan bertemu di terminal yang sama setelah 240 menit yaitu 240 menit sama dengan 4 jam. Ketika ketiga bus tersebut berangkat pukul 05.30 pagi akan bertemu di terminal yang sama pada jam 09.30.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 60 adalah 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5

Faktorisasi prima dari 80 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5

Faktorisasi prima dari 120 adalah 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2³ x 3 x 5

Maka KPK dari 60, 80, dan 120 adalah 2⁴ x 3 x 5 =240

Tiga bus tersebut akan bertemu di terminal yang sama setelah 240 menit yaitu 240 menit sama dengan 4 jam. Ketika ketiga bus tersebut berangkat pukul 05.30 pagi akan bertemu di terminal yang sama pada jam 09.30.

SOAL IV :

Ali bersepeda dari kota Yogyakarta ke Solo dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam, berangkat pukul 07.00. Satu jam kemudian Bambang menyusul Ali naik sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam. Pada km berapa dan pada pukul berapa Bambang menyusul Ali?

Penyelesaian :

Cara I : Menemukan himpunan kelipatan

Kelipatan 20 adalah 20, 40, 60, 80, 100, 120, …

Kelipatan 30 adalah 30, 60, 90, 120, 150, …

Maka KPK dari 20 dan 30 adalah 60.

Bambang menyusul Ali pada jarak 60 km dengan waktu 2 jam. Karena Bambang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam, maka jarak 60 km dapat ditempuh dengan waktu 2 jam. Dan dapat menyusul Ali pada pukul 10.00 (2 jam setelah pukul 08.00).

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 20 adalah 2 x 2 x 5 = 2² x 5

Faktorisasi prima dari 30 adalah 2 x 3 x 5

Maka KPK dari 20 dan 30 adalah  2² x 3 x 5 = 60

Bambang menyusul Ali pada jarak 60 km dengan waktu 2 jam. Karena Bambang mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 30 km/jam, maka jarak 60 km dapat ditempuh dengan waktu 2 jam. Dan dapat menyusul Ali pada pukul 10.00 (2 jam setelah pukul 08.00).

SOAL V :

Sebuah bak mandi mempunyai dua buah kran, yaitu kran besar dan kran kecil. Jika kran kecil dibuka dan kran besar ditutup, bak mandi akan penuh setelah 60 menit. Jika kran besar dibuka dan kran kecil ditutup, bak mandi akan penuh dalam waktu 40 menit. Berapa menit dibutuhkan untuk memenuhi bak mandi jika kedua kran dibuka?

Penyelesaian :

Dalam masalah tersebut kran besar dan kecil dibuka secara bersamaan sehingga air akan memenuhi bak mandi dengan waktu lebih cepat dari pada waktu kran kecil dibuka atau kran besar dibuka. Sehingga untuk memcahkan masalah ini kita harus mencari faktor persekutuan terbesar dari dua waktu tersebut.

Cara I : Pemfaktoran

Faktor dari 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 30, 60

Faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Maka FPB dari 60 dan 40 adalah 20.

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk memenuhi bak mandi jika kedua kran dibuka adalah selama 20 menit.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 60 adalah 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5 

Faktorisasi prima dari 40 adalah 2 x 2 x 2 x 5 = 2³ x 5

Maka FPB 60 dan 40 adalah 2² x 5 = 20

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk memenuhi bak mandi jika kedua kran dibuka adalah selama 20 menit.

SOAL VI :

Menjelang bulan puasa Pak Budi membagikan bantuan kepada para tetangganya berupa 96 kg beras, 80 bungkus mie instan dan 64 kemasan minyak goreng. Setiap orang mendapat bagian sama banyak, maka tetangga Pak Budi yang mendapat bantuan adalah sebanyak berapa orang?

Penyelesaian :

Permasalahan di atas dapat kita selesaikan dengan terlebih dahulu mencari FPB dari 96, 80, dan 64.

Cara I : Pemfaktoran

Faktor dari 96 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

Faktor dari 80 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

Faktor dari 64 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Maka FPB dari 96, 80, 64 adalah 16

Jadi tetangga Pak Budi yang mendapat bantuan ada 16 orang, dengan rincian sebagai berikut :

Beras                     : 96 : 16 = 6

Mie instan              : 80 : 16 = 5

Minyak Goreng     : 64 : 16 = 4

Setiap orang akan mendapatkan 6 kg beras, 5 buah mie instan, dan 4 kemasan minyak goreng.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 96 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁵ x 3

 Faktorisasi prima dari 80 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5

Faktorisasi prima dari 64 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁶

Maka FPB dari 96, 80, 64 adalah 2⁴ = 16

Jadi tetangga Pak Budi yang mendapat bantuan ada 16 orang, dengan rincian sebagai berikut :

Beras                     : 96 : 16 = 6

Mie instan              : 80 : 16 = 5

Minyak Goreng     : 64 : 16 = 4

Setiap orang akan mendapatkan 6 kg beras, 5 buah mie instan, dan 4 kemasan minyak goreng.

SOAL VII :

Dua buah pita berwarna kuning dan biru masing-masing panjangnya 51 cm dan 119 cm. kedua pita tersebut dipotong dengan ukuran masing-masing potongan sama panjang. Banyak potongan dari kedua pita tersebut adalah. . .

Penyelesaian :

Permasalahan di atas dapat kita selesaikan dengan terlebih dahulu mencari FPB dari 51 dan 119.

Cara I : Pemfaktoran

Faktor dari 51 adalah 1, 3, 17, 51

Faktor dari 119 adalah 1, 7, 17, 119

Maka FPB dari 51 dan 119 adalah 17.

Jadi banyak potongan dari kedua pita tersebut adalah 17.

Cara II : Pemfaktoran Prima

Faktorisasi prima dari 51 adalah 3 x 17

Faktorisasi prima dari 119 adalah 7 x 17

Maka FPB dari 51 dan 119 adalah 17.

Jadi banyak potongan dari kedua pita tersebut adalah 17.